المصفوفات
تعريف المصفوفة : هي تنظيم للبيانات في شكل صفوف ( أفقية )وأعمدة (رأسية) توضع بين قوسين.
مثل :
أ = ، ب = ، ج =
نظم المصفوفة: إذا كان عدد صفوف المصفوفة = م ، عدد الأعمدة = ن
ـ تكون المصفوفة علي النظم م×ن
ـ المصفوفة أ علي النظم 2 × 3 ، المصفوفة ب علي النظم 2×2 ، ج علي النظم 1 ×3
ـ تسمية المصفوفة : نرمز للمصفوفة بأي حرف كبير ( أ ، ب ، ج ، س ، ص ........ )
مثال : محلان لبيع الأدوات الكهربية في أحد الأيام باع المحل الأول 5 خلاطات ، 6 مراوح ، 3 ثلاجات
ـ و باع المحل الثاني 4 خلاطات ، 9 مراوح ، 3 ثلاجات ـ أكتب مصفوفة المبيعات س علي النظم2×3
الحل :ـ المحل الأول
س = المحل الثاني ..
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــ
* موقع العناصر في المصفوفة :
ـ في المصفوفة أ يكون العنصر ( أص ع ) هو العنصر الذي يقع في الصف ص ، العمود ع
مثال : إذا كانت
أ = ـ أكتب نظم أ ثم أوجد أ 21 ، أ 3 2 ، أ 2 2 ، أ 3 1 ..
الحل :
ـ نظم أ هو 3 × 3 ، أ 21 = 3 ، أ 3 2 = 5 ، أ 2 2 = 9 ، أ 3 1 = -2
* بعض المصفوفات الخاصة :.
1ـ مصفوفة الصف : هي المصفوفة التي تتكون من صف واحد و أي عدد من الأعمدة : م = 1
مثل س = علي النظم 1 × 3
2ـ مصفوفة العمود : هي المصفوفة التي تتكون من أي عدد من الصفوف و عمود واحد فقط : ن=1
مثل
ص = ، ل =
3ـ المصفوفة المربعة : المصفوفة التي فيها عدد الصفوف = عدد الأعمدة : م = ن
4ـ المصفوفة الصفرية : المصفوفة التي كل عناصرها أصفار : رمزها مستطيل صغير
مثل = ، =
مدوّر المصفوفة : لأي مصفوفة أ علي النظم م × ن إذا جعلنا الصفوف أعمدة . و الأعمدة صفوف فإننا نحصل علي مدور المصفوفة [ أ ] و رمزها ( أ مد ) و تكون علي النظم ن × م ..
* ملاحظة : ( أ مد ) مد = أ
مثال : ـ
إذا كانت أ = ، ب = ، ج = أوجد أ مد ، بمد ، ج مد
الحل :
أ مد = ، ب مد = ، ج مد = ...........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ
* تساوي مصفوفتين :ـ ـ تتساوي المصفوفتان أ ، ب إذا كان
[1] لهما نفس النظم [2] كل عنصر في أ يساوي نظيره في ب أي أن أ ص ع = ب ص ع ..
مثال1 :إذا كانت = أوجد س ، ص ، ع
الحل :ـ من التساوي :. س = 2 ، ص = 5 ، ع = 4
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
2ـ إذا كانت
= أوجد جـ ، د ، هـ
الحل :ـ
من التساوي : جـ - د = 5 ...[1] ، جـ + د = 1 .... [2] بجمع 1 ، 2 :. 2 جـ = 6 جـ =3
، من [2] 3 + د = 1 د = -2 ، من التساوي هـ = 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
3ـ إثبت أنه لجميع قيم س ، ص لا يمكن أن تتحقق المساواة الأتية .
=
الحل:ـ من التساوي : س = 5 ، ص = 4
، من التساوي س + ص = 4 (3)
لكن بالتعويض عن قيم س ، ص يكون س + ص = 5+4 = 9 4
أي أن س ، ص لا تحققان المعادلة (3) لا يمكن التساوي ..
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
العمليات علي المصفوفات :ـ
أولاً الجمع و الطرح :ـ لجمع ( أو طرح ) مصفوفتين لابد و أن يكونا علي نفس النظم و يكون الناتج عن طريق جمع ( أو طرح ) العناصر المتناظرة فيهما ..
مثال1: إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ+ ب
الحل :.
أ + ب = و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فيهما ..
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ
2ـ إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ + بمد
الحل:ـ
أ + ب مد = + =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ
* ملاحظات هامة : [1] ( أ + ب )مد = أ مد + ب مد : يمكن الإثبات من المثال السابق ..
[2] يمكن ضرب أي مصفوفة في أي عدد مثل ك حيث ك صفر
[3] المعكوس الجمعي للمصفوفة ( أ ) هو ( - أ ) بحيث أ + ( - أ ) =
[4] أ + ب = ب + أ ، أ + = أ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ
3ـ إذا كانت
س = ، ص = أوجد 3س- 2ص
الحل :ـ
3س – 2ص = 3 - 2 = +
=
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
تمرين : إذا كانت
أ = ، ب = أوجد : أ - 4ب ، 3أ + ب ، أ + بمد إن أمكن
4ـ إذا كانت
أ = ، ب = أوجد المصفوفة س بحيث 2ب + سمد = 3أ
الحل :ـ
:. 2ب + سمد = 3 أ سمد = 3 أ - 2ب = 3 - 2
:. س مد = - =
:. ( س مد ) مد = س س = #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ
5ـ إذا كانت
2 أ مد + = فأوجد أ
الحل :ـ
2 أ مد = - = أ مد = أكمل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6ـ (هام) إذا كانت
أ = ، ب = فأوجد المصفوفة س بحيث
3 أ مد - س = 2ب - 3 سمد
الحل :ـ :. 3 أ مد - س = 2ب - 3 سمد 3سمد - س = 2 ب - 3 أ مد
3س مد - س = 2 - 3 = -
3 سمد - س = ....... (1) بتدوير الطرفين
3 س - سمد = ......... (2) ، بضرب المعادلة (2) × 3
9 س - 3 س مد = ........ ( 2)/ : بجمع (1) و (2)/
8 س = + = س =
ضرب المصفوفات :ـ إذا كانت أ مصفوفة علي النظم م × ن ، ب مصفوفة علي النظم ن× ر
فإنه يمكن ضرب أ × ب و يكون الناتج مصفوفة علي النظم ( م × ر )
ـ شرط ضرب مصفوفتين : عدد أعمدة الأولي = عدد صفوف الثانية .. [ تساوي الوسطين ]
ـ نظم المصفوفة الناتجة = عدد صفوف الأولي × عدد أعمدة الثانية .. [ نظم الطرفين ]
مثال1:ـ أ = ، ب = ـ فأوجد أ ب ، ب أ
الحل :ـ
أ ب = = =
ـ لاحظ أن : أ علي النظم 2 × 3 ، ب علي النظم 3 × 2 ، أ ب علي النظم 2 × 2 [ حذف الوسطين]
ب أ = = = #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2ـ إذا كانت
أ = ، ب= ، ج = ـ إثبت أن أ ( ب+ج) = أ ب + أ ج
الحل :ـ
:. أ ( ب + ج ) = + = = (1)
:. أ ب + ب ج = +
= + = (2) أ ( ب+ج) = أ ب + أ ج
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ
ملاحظات هامة جداً :
1ـ ( أ ب )مد = ب مد أ مد 2ـ أ 2 = أ × أ ، أ4 = أ2 × أ 2 [ حيث أ مصفوفة مربعة ]
3ـ مصفوفة الوحدة ( I )
ـ هي مصفوفة مربعة عناصر القطر الرئيسي فيها = 1 ، و باقي العناصر أصفار .
مثل I = ، I = ..............
4ـ أ × I = I × أ = أ
3ـ إذا كانت
أ = ، ب = ـ فأوجد قيمة أ2 - 3 ب
الحل :ـ
:. أ 2 = أ × أ = =
أ 2 - 3 ب = - 3 = #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ
4ـ إذا كانت
أ = فأوجد أ 4
الحل :ـ
:. أ2 = أ × أ = =
أ4 = أ2 × أ2 = =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
5ـ إذا كانت
أ = ـ فإثبت أن : أ2 - 5 أ + 2I =
الحل :ـ
:. أ2 = =
أ2 - 5 أ + 2I = - 5 + 2
= - + = = #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ
6ـ أكمل ما يأتي
1ـ ( س + ص )مد = ........ + ........... 2ـ ( أ ب )مد = ..... × .......
3ـ إذا كانت ج = فإن ج2 = .......... ، 5 ج = ...........
4ـ = ............
تمارين المصفوفات :. تعريف المصفوفة .
1ـ أنتجت ثلاث شركات س ، ص ، ع نوعين من الأقمشة فكان ما أنتجته الشركة س عبارة عن 1000متر من النوع الأول ، 1200متر من النوع الثاني . و ما أنتجته الشركة ص عبارة عن 500متر من النوع الأول ، 900 متر من النوع الثاني ، و ما أنتجته الشركة ع عبارة عن 700متر من النوع الأول ، 400 متر من النوع الثاني ـ أكتب هذه البيانات في صورة مصفوفة ( أ ) علي النظم 3×2
ـ و أكتب أيضاً هذه البيانات في صورة مصفوفة ( ب ) علي النظم 2×3
2ـ محلان لبيع الملابس في أحد الأيام باع المحل الأول 20 قميص ، 5 بدل ، 12 حذاء ، و باع المحل الثاني 13 قميص ، 3 بدل ، 14 حذاء ـ أكتب هذه البيانات في صورة مصفوفة س علي النظم 2×3
3ـ إذا كانت المصفوفة أ = ، ب = أكمــــــــــل ما يأتي
ـ i ـ نظم أ هو ....... ، نظم ب هو ......... ( ii ) العنصر ب 2 1 = ........
iii ـ العنصر أ 3 2 = ................ ، العنصر ب 1 3 هو ................. ، أ 3 1 + ب 1 3 = ............ ..
4ـ أكتب مصفوفة أ علي النظم 2 × 3 ، أكتب مصفوفة ب علي النظم 2 × 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
مدور المصفوفة و تساوي مصفوفتين ..
5 ـ إذا كانت = فأوجد قيمتي س ، ص
6ـ إذا كانت = فأوجد س ، ص ، ع
7ـ إثبت أنه لجميع قيم س ، ص لا يمكن أن تتحقق المساواة الأتية
=
8ـ إذا كانت أ = ، ب = ـ أذكر نظم أ ، ب ثم أوجد أ مد ، بمد
9ـ إذا كانت أ = ، ب = و كان ب مد = أ فأوجد س ، ص
10ـ أكمل : المصفوفة هي تنظيم معين للبيانات علي صورة ......... أفقية و ........... رأسية توضع بين
........ ـ نظم المصفوفة هو ............
ـ الجمع و الطرح :.
11ـ إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ + ب ، 2أ -3 ب
12ـ إذا كانت أ = ، ب =
ـ أوجد المصفوفة س التي تحقق العلاقة 2 أ + س = 3 ب ...
13ـ إذا كانت أ = ، ب = فأوجد كلا من
ـ أ + ب مد ، أ مد - ب ، أ مد + ب مد إن أمكن ..
14ـ إذا كانت س = ، ص =
ـ أوجد المصفوفة أ التي تحقق العلاقة : 2 أ + ص - س =
15ـ إذا كانت س + 2س مد + = فأوجد المصفوفة س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ
الضرب :ـ
16ـ إذا كانت أ = ، ب = فأوجد أ ب ،، ب أ
17ـ إذا كانت س = ، ص = أوجد ( س ص )مد ، س -2ص
18ـ إذا كانت أ = ، ب = ، أوجد المصفوفة س بحيث 2س+ سمد = أ ب
19ـ إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ 2 - 4 أ + 4 I = ( أ - 2I )2
20 ـ إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ 2 - أ - 5 I =
21ـ إذا كانت س = فأوجد س4
22ـ إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ2 + 2 أ ب + ب2
 |
رد مع اقتباس
شكراً لهذا
أعجبني هذا
المفضلات