مدحت صلاح (مصراوى22)
26-09-2010, 05:20 AM
الارتباط
- تعريف الارتباط : هو المقياس الذى يصف شدة العلاقة بين متغيرين ( ظاهرتين ) ويرمز له بالرمز " ر" .
- والارتباط نوعان :
1- ارتباط طردى : أى أن العلاقة بين الظاهرتين موجبة .
بمعنى أن أى زيادة فى إحدى الظاهرتين يصحبها زيادة فى الظاهرة الأخرى والعكس أى أن أى نقص فى إحدى الظاهرتين يصاحبه نقص فى الظاهرة الأخرى .
· مثال ذلك : ظاهرة المبيعات النقدية والإيرادات
فكلما زادت المبيعات النقدية زادت الإيرادات
وكلما نقصت المبيعات النقدية نقصت الإيرادات
وأيضاً ظاهرة مدة الخدمة لموظف الحكومة ومرتبه
فكلما زادت مدة خدمة موظف الحكومة زاد مرتبه والعكس
2- ارتباط عكسى : أى أن العلاقة بين الظاهرتين سالبة
بمعنى أن أى زيادة فى إحدى الظاهرتين يصاحبها نقص فى الظاهرة الأخرى ، والعكس أى أن أى نقص فى إحدى الظاهرتين يقابله زيادة فى الظاهرة الأخرى .
· مثال ذلك : ظاهرة سعر السلعة والطلب عليها
كلما زاد سعر السلعة قل الطلب عليها
وكلما قل سعر السلعة زاد الطلب عليها
· قيمة معامل الارتباط : وتتراوح قيمة معامل الارتباط بين +1 ، -1 عدا الصفر ، وكلما اقتربت قيمة معامل الارتباط من +1 أو -1 دل هذا على ارتباط قوى ، وكلما اقتربت قيمة معامل الارتباط من الصفر دل هذا على ارتباط ضعيف ، وإذا كانت قيمة معامل الارتباط = +1 أو -1 دل هذا على ارتباط تام ، أما إذا كانت قيمة معامل الارتباط = صفر دل هذا على انعدام العلاقة بين الظاهرتين أى لا يوجد ارتباط .
· إشارة معامل الارتباط : إذا كانت إشارة معامل الارتباط موجبه دل هذا على أن العلاقة بين المتغيرين علاقة طردية .
بمعنى ï أن الزيادة فى المتغير الأول يصاحبها زيادة فى المتغير الثانى ،
أما إذا كانت إشارة معامل الارتباط سالبة دل هذا على علاقة عكسية .
بمعنى ï أن الزيادة فى المتغير الأول يصاحبها نقص فى المتغير الثانى ،
E وقد سبق أن وضحنا ذلك عند الكلام عن نوعى الارتباط .
· طرق قياس معامل الارتباط : يمكن قياس معامل الارتباط بعدة طرق أهمها :
1- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان .
2- معامل ارتباط بيرسون .
1- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان
يستخدم للبيانات الرقمية والبيانات الوصفية
- وتعتمد هذه الطريقة على استخدام رتب القيم بدلاً من القيم الأصلية للمتغيرين أو الظاهرتين ولهذا تصلح هذه الطريقة للقيم العددية والقيم الوصفية .
- والقانون المستخدم فى هذه الطريقة : É
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif
** حيث ن عدد القيم ، الرقم ( 6 ) ثابت لا يتغير وكذلك الرقم ( 1 ) .
مثال ( 1 ) : فيما يلى درجات 8 طلاب فى مادتى الرياضة ( س ) والإحصاء ( ص )
س
20
45
30
35
15
40
49
22
ص
30
40
50
25
35
27
46
17
والمطلوب 1- إيجاد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان .
2- نوع الارتباط .
الحل :
س
ص
رتب س
رتب ص
ف
ف2
20
30
7
5
2
4
45
40
2
3
-1
1
30
50
5
1
4
16
35
25
4
7
-3
9
15
35
8
4
4
16
40
27
3
6
-3
9
49
46
1
2
-1
1
22
17
6
8
-2
4
صفر
60
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif
= 1- 0.71
= 0.29 وهو ارتباط طردى .
مثال ( 2) :
فيما يلى تقديرات عشر طالبات بكلية العلوم فى مادتى الرياضيات (س) والكيمياء (ص)
درجات الرياضيات
ضعيف
ممتاز
ضعيف
ضعيف جداً
مقبول
جيدجداً
جيد
جيد
مقبول
مقبول
درجات الكيمياء
جيد
جيدجداً
ضعيف جداً
مقبول
جيدجداً
جيد
مقبول
ممتاز
مقبول
ضعيف
والمطلوب : إيجاد معامل ارتباط الرتب مع بيان نزعه درجته .
الحل :
س
ص
رتب س
رتب ص
ف
ف2
ضعيف
جيد
8.5
4.5
4
16
ممتاز
جيد جداً
1
2.5
-1.5
2.25
ضعيف
ضعيف جداً
8.5
10
-1.5
2.25
ضعيف جداً
مقبول
10
7
3
9
مقبول
جيد جداً
6
2.5
3.5
12.25
جيد جداً
جيد
2
4.5
-2.5
6.25
جيد
مقبول
3.5
7
-3.5
12.25
جيد
ممتاز
3.5
1
2.5
6.25
مقبول
مقبول
6
7
-1
1
مقبول
ضعيف
6
9
-3
9
صفر
76.5
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif
= 1- file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif = 1- 0.46 = 0.54 وهو ارتباط طردى متوسط .
2- معامل ارتباط بيرسون
· ويعتبر معامل ارتباط بيرسون أكثر دقة من معامل ارتباط سبيرمان وذلك لأنه يستخدم قيم الظاهرتين وليس رتب هذه القيم كما هو الحال فى معامل ارتباط سبيرمان .
· file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gifويسمى معامل ارتباط بيرسون بمعامل ارتباط العزوم ولا يصلح معامل بيرسون للقيم الوصفية .
· file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gifوالقانون المستخدم لإيجاده هو : ر= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif
· خطوات الحل :
1- نكون جدولاً من ( 5 ) خانات هى : [ س ، ص ، س ص ، سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif ، صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif ] .
o خانة س هى مفردات قيم الظاهرة س .
o ص هى مفردات قيم الظاهرة ص .
o خانة س ص هى حاصل ضرب قيم س × قيم ص .
o خانة سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif هى حاصل ضرب قيم س فى نفسها .
o خانة صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif هى حاصل ضرب قيم ص فى نفسها .
2- ثم نجمع أعمدة الجدول الخمسة ويسمى مجموع الخانة الأولى مج س ومجموع الخانة الثانية مج ص ومجموع الخانة الثالثة مج س ص ومجموع الخانة الرابعة مج سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gifومجموع الخانةالخامسة مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif
3- نعوض فى القانون السابق حيث ن هى عدد أزواج القيم .
مثال ( 1) من الجدول الآتى :
س
5
4
5
6
3
2
10
ص
5
6
2
4
3
1
7
إحسب معامل ارتباط بيرسون للظاهرتين س ، ص
الحل :
س
ص
س ص
س2
ص2
5
5
25
25
25
4
6
24
16
36
5
2
10
25
4
6
4
24
36
16
3
3
9
9
9
2
1
2
4
1
10
7
70
100
49
35
28
164
215
140
* من الجدول السابق نجد أن : مج س = 35 ، مج ص = 28 مج س ص = 164 مج سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = 215 ، مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = 140
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ر= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image030.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image032.gif
ثانياً : الانحدار
§ تعريف الانحدار :
o الانحدار هو : التنبؤ بقيمة أحد المتغيرين ( الظاهرتين ) بمعلومية المتغير الآخر .
§ معادلتا الانحدار :
1- معادلة انحدار ص / س وتقرأ ïï ص على س
2- معادلة انحدار س / ص وتقرأ ïï س على ص
1- معادلة انحدار ص/س
وهذه المعادلة تعطى أفضل قيمة لـ ص إذا علمت قيمة س
ص = ا س + ب
Ãحيث ص هى المتغير التابع المراد تقديره .
، س هى المتغير المستقل .
،ا هو معامل انحدار ص/س .
، ب ثابت فى المعادلة .
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif
ص = ا س + ب
مثال (1) فيما يلى جدول يبين أسعار سلعة بالجنيهات ( س ) والكميات المباعة منها بالطن ( ص )
س
9
8
7
9
9
9
6
7
8
8
ص
6
9
5
8
8
9
5
7
7
6
والمطلوب : حساب معادلة انحدار ص / س ومنها أوجد أفضل قيمة لـ ص عندما س = 20
الحل :
س
ص
س ص
س2
9
6
54
81
8
9
72
64
7
5
35
49
9
8
72
81
9
8
72
81
9
9
81
81
6
5
30
36
7
7
49
49
8
7
56
64
8
6
48
64
80
70
569
650
من الجدول السابق : مج س = 80 ، مج ص = 70 ، مج س ص = 569
مج س2= 650
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image037.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image039.gif
70 – 0.9 × 80
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image041.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image043.gif = 0.9
10
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image046.gif= = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image048.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image050.gif = -0.2
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ص = ا س + ب
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ص = 0.9س + (-0.2 )
= 0.9س -0.2
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif معادلة انحدار ص/س هى
· ولتقدير قيمة ص عندما س = 20 نعوض عن س فى المعادلة السابقة بـ20
ص = 0.9 × 20 – 0.2
= 18 – 0.2
= 17.8
2- معادلة انحدار س/ص
وهذه المعادلة تعطى أفضل قيمة لـ س إذا علمت قيمة ص
س = جـ ص + د
à حيث س هى المتغير التابع المراد تقديره .
، ص هى المتغير المستقل .
، جـ معامل انحدار س / ص .
، د ثابت فى المعادلة .
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image055.gifنوجد قيمة جـ بالقانون :
جـ = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image057.gif file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image059.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image059.gif
نوجد قيمة د بالقانون :file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image061.gif
د =
نعوض فى المعادلة :
س = جـ ص + د لإيجاد قيمة س .
مثال (2) من بيانات المثال ( 1 ) أوجد باستخدام طريقة المربعات الصغرى :
1- معادلة انحدار س / ص .
2- تقدير أفضل قيمة لـ س عندما ص = 15 .
الحل :
س
ص
س ص
صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif
9
6
54
36
8
9
72
81
7
5
35
25
9
8
72
64
9
8
72
64
9
9
81
81
6
5
30
25
7
7
49
49
8
7
56
49
8
6
48
36
80
70
569
510
مج س = 80 ، مج ص = 70 ، مج س ص = 569 ، مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif= 510
حـ = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image065.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image067.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image069.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image070.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image071.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image073.gif = 0.45
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image074.gif د = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image076.gif = = = = 4.85
B معادلة انحدار س / ص هى : د
س = 0.45 ص + 4.85
*ولتقدير أفضل قيمة لـ س عندما ص = 15 نعوض فى المعادلة السابقة عن ص = 15
س = 0.45 × 15 + 4.85 = 6.75 + 4.85 = 11.60
العلاقة بين الارتباط والانحدار
× تتلخص العلاقة بين معامل الارتباط ومعاملى الانحدار فى :
o file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image077.gifمعامل الارتباط = معامل انحدار ص/س × معامل انحدار س/ص
o file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image078.gifأى أن ر = ا × جـ ج
o أو رfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = ا × ج
E بشرط أن تكون الإشارة واحدة فى كل من ا ، ج ، ر بمعنى أن الجميع موجب أو سالب .
وتستخدم هذه العلاقة فى :
1- إيجاد معامل الارتباط ( ر ) بمعلومية معاملى انحدار ص / س ، س/ ص .
2- إيجاد معامل انحدار ص/س بمعلومية معامل الارتباط ومعامل انحدار س/ص .
3- إيجاد معامل انحدار س/ص بمعلومية معامل الارتباط ومعامل انحدار ص/س .
مثال (1) إذا علمت أن معادلة انحدار ص/س هى ص = 0.6س + 4.2
ومعادلة انحدار س/ص هى : س = 0.25 ص + 2.3
إحسب معامل الارتباط بين الظاهرتين س ، ص ؟
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image080.gifالحل : ا = 0.6 ، ج = 0.25 ، ر = ؟؟؟
ر = ا × ج
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image081.gif = 0.6× 0.25
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image082.gif = 0.15
= 0.39
مثال (2) إذا كان معامل انحدار ص/س هو 0.6
ومعامل الارتباط بين الظاهرتين س ، ص هو 0.39
أوجد معامل انحدار س/ص
الحل : ر = 0.39 ، ا = 0.6 ، ج = ؟؟؟
A ر2 = ا × ج
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image083.gifB ج = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image085.gif
=
= 0.25
مثال (3) إذا كان معامل انحدار س/ص هو -0.3
ومعامل الارتباط بين س ، ص هو -0.9
إحسب معامل انحدار ص/س
الحل : ج = -0.3 ، ر = -0.9 ، ا = ؟؟؟
A ر2 = ا × ج
B ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image087.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image089.gif = -2.7
السلاسل الزمنية
تعريف السلسة الزمنية : هى قراءات ظاهرة فى فترات زمنية متساوية ومتتالية ، وهذه الفترات الزمنية قد تكون يوماً أو أسبوعاً أو شهراً أو سنة .....إلخ .
E ومن أمثلة السلاسل الزمنية :
- درجات الحرارة لعدة أيام متتالية .
- المبيعات الشهرية .
- كميات الإنتاج من إحدى السلع خلال عدة سنوات متتالية .
- أعداد السكان لإحدى الدول فى عدة سنوات متتالية .
à وعند دراسة السلاسل الزمنية فإن هناك متغيرين أحدهما هو المتغير الأصلى المنتظم وهو الزمن والثانى يعتمد فى تغيره على تغير الزمن وهو الظاهرة .
à وترجع أسباب تغير قيمة الظاهرة إلى :
1- تغيرات الاتجاه العام .
2- التغيرات الموسمية .
3- التغيرات الدورية .
4- التغيرات العرضية أو الفجائية .
1- تغيرات الاتجاه العام : هى تغيرات طويلة الأجل فى اتجاه واحد
إما صعوداً : حيث تميل قيمة الظاهرة إلى التزايد كلما زاد الزمن مثل عدد السكان – الدخل القومى ...إلخ .
أو هبوطاً : حيث تميل قيمة الظاهرة إلى التناقص كلما زاد الزمن مثل نقص عدد الأميين – نقص عدد الوفيات ...إلخ .
وليس معنى الاتجاه العام الصعودى أن كل قراءة تزيد عما قبلها بل قد يحدث أن تنخفض فى
بعض أجزائها ثم تزيد فى البعض الآخر بحيث يكون التغير الغالب على الظاهرة هو الزيادة ،
وبالمثل فى حالة الاتجاه العام الهبوطى.
2- التغيرات الموسمية : هى تغيرات تحدث فى تواريخ معلومة بأسلوب تقليدى فى كل عام مثل زيادة المبيعات فى المواسم والأعياد من سلع معينة وزيادة عمليات سحب النقود من البنوك فى أول كل شهر .
3- التغيرات الدورية : هى تغيرات منتظمة ولكن انتظامها ليس تاماً كما هو الحال فى التغيرات الموسمية وليست تغيرات قصيرة الأجل وإنما تستغرق زمناً طويلاً حوالى عشر سنوات حتى تستعيد سيرتها مثل فترات الرواج والكساد .
4- التغيرات العرضية أو الفجائية : وهى تغيرات تحدث فجأة ولا يمكن التنبؤ بها وقد تتكرر أو لا تتكرر وتغيرها تارة يكون بالزيادة وتارة يكون بالنقص وهى لا تستمر طويلاً وتترتب على عوامل عارضة مثل الحروب والكوارث والاضطرابات والحرائق .
C وسوف نكتفى بدراسة الاتجاه العام بطريقة المربعات الصغرى :
ص = ا س + ب
** حيث أن السلسلة الزمنية حالة من حالات الانحدار الثابت فيها هو الزمن ، وسوف نعالج السلسلة الزمنية إذا كان يمثلها عدد فردى من السنوات ثم إذا كان يمثلها عدد زوجى من السنوات .
أولاً : إذا كانت السلسلة الزمنية يمثلها عدد فردى من السنوات :
خطوات الحل :
1- نكون جدول من ( 5 ) خانات [ السنة ، ص ، س ، س ص ، س2 ] .
حيث : ×خانة السنة : هى الفترات الزمنية للظاهرة ( أيام أو شهور أو سنوات ) .
×خانة ص : هى قيم الظاهرة .
×خانة س : هى انحرافات السنوات عن السنة الوسطى وهى السنة التى تتوسط السنوات .
ترتيب السنة الوسطى = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image091.gif حيث ( ن ) هى عدد السنوات فيكون انحرافها
عن نفسها = صفر ، وانحرافها عما فوقها : -1 ، -2 ، -3 ..... وهكذا
وانحرافها عما تحتها : 1 ، 2 ، 3 ............وهكذا
×خانة س ص : هى حاصل ضرب كل قيمة لـ س × قيمة ص المناظرة لها مع الأخذ فى
الاعتبار إشارة السالب والموجب .
×خانة س2 : هى حاصل ضرب كل قيمة لـ س × نفسها .
2- نجمع الخانات الثانية والثالثة والرابعة والخامسة .
حيث يسمى مجموع الخانة الثانية مج ص .
، يسمى مجموع الخانة الثالثة مج س وهو دائما يساوى صفر .
، يسمى مجموع الخانة الرابعة مج س ص .
، ويسمى مجموع الخانة الخامسة مج س2 .
3- نوجد ( ا ) كما يلى :
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image093.gif
نوجد ( ب ) كما يلى : ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image095.gif
4- نعوض فى معادلة خط الاتجاه العام وهى :
ص = ا س + ب
مثال (1) الجدول الآتى يبين الصادرات " بالمليون جنيه " لقطاع البترول فى إحدى الدول خلال الفترة من سنة 1991 حتى سنة 1997 .
السنة
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
الصادرات
4
9
10
12
16
22
27
والمطلوب :
1- حساب معادلة الاتجاه العام لصادرات هذه الدولة بطريقة المربعات الصغرى .
2- التنبؤ بالصادرات عام 2012 .
3- القيم التقديرية للصادرات فى الفترات الزمنية المبينة فى الجدول .
الحل :
السنة
ص
س
س ص
س2
1991
4
-3
-12
9
1992
9
-2
-18
4
1993
10
-1
-10
1
1994
12
صفر
صفر
صفر
1995
16
1
16
1
1996
22
2
44
4
1997
27
3
81
9
المجموع
98
صفر
101
28
Ãمن الجدول السابق نجد أن : مج ص = 98 ، مج س ص = 101 ، مج س2 = 28 ، ن = 7
( 1 ) B ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image097.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image099.gif = 3.6
، ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image101.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image103.gif = 14
، A ص = ا س + ب
B ص = 3.6 س + 14
( 2 ) عند سنة 2012 : س = 2012 – 1994
= 18
B ص ( قيمة الصادرات سنة 2012 ) = 3.6 × 18 + 14
= 64.8 + 14
= 78.8
( 3 ) لإيجاد القيمة التقديرية للصادرات فى جميع السنوات التى بالجدول نعوض فى المعادلة عن س
بالقيم : -3 ، -2 ، -1 ، صفر ، 1 ، 2 ، 3 هكذا É
ص لسنة 1991 = ( 2.3 × -3 ) + 14 = -6.9 + 14 + 7.1 .
ص لسنة 1992 = ( 2.3 × -2 ) + 14 = -4.6 + 14 = 9.4
ص لسنة 1993 = ( -2.3 × -1 ) + 14 = -2.3 + 14 = 11.7
ص لسنة 1994 = ( 2.3 × 0 ) + 14 = 0 + 14 = 14
ص لسنة 1995 = ( 2.3 × 1 ) + 14 = 2.3 + 14 = 16.3
ص لسنة 1996 = ( 2.3 × 2 ) + 14 = 4.6 + 14 = 18.6
ص لسنة 1997 = ( 2.3 × 3 ) + 14 = 6.9 + 14 = 20.9
Ãويمكن الحصول على النتائج السابقة بإيجاد القيمة التقديرية للصادرات 1991 كما سبق ثم نضيف إليها معامل ا وهو 2.3 ينتج القيمة التقديرية لصادرات سنة 1992 ....وهكذا
السنة
الصادرات المقدرة
1991
7.1
1992
7.1 + 2.3 = 9.4
1993
9.4 + 2.3 = 11.7
1994
11.7 + 2.3 = 14
1995
14 + 2.3 = 16.3
1996
16.3 + 2.3 = 18.6
1997
18.6 + 2.3 = 20.9
مثال (2) عند إعداد جدول معادلة الاتجاه العام لسلسلة زمنية لخمس سنوات أمكن التوصل إلى البيانات الآتية :-
مج ص= 125 ، مج س ص = 90 ، مج س2 = 10
والمطلوب : حساب معادلة الاتجاه العام .
الحل :
أ. file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image097.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image106.gif = 9
ب. = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image101.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image109.gif= 25
B ص = ا س + ب
= 9 س + 25
ثانياً : إذا كانت السلسلة الزمنية يمثلها عدد زوجى من السنوات :
مثال (3) الآتى مبيعات إحدى الشركات خلال 6 سنوات بالمليون جنيه
السنة
1990
1991
1992
1993
1994
1995
المبيعات
5
7
10
12
14
18
والمطلوب :
1- إحسب معادلة الاتجاه العام ,
2- إيجاد القيمة التقديرية للمبيعات للفترات الزمنية المبينة فى الجدول .
3- التنبؤ بقيمة المبيعات فى سنة 2000 .
مثال (4)
عند إعداد جدول معادلة الاتجاه العام لسلسلة زمنية تتكون من ( 6 ) سنوات تبدأ من سنة 2001 أمكن التوصل للبيانات الآتية :
مج ص = 180 ، مج س ص = 330 ، مج س2 =70
المطلوب :
1- حساب معادلة الاتجاه العام .
2- القيمة التقديرية لسنة 2010 .
الحل :
1- ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image111.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image113.gif = 4.7
ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image115.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image117.gif = 30
ص = ا س + ب
= 4.7 س + 30
2- س لسنة 2010 = 2010 – 2003.5 = 6.5 × 2 = 13
B القيمة التقديرية لسنة 2010 = 4.7 × 13 + 30 = 91.1
تمثيل السلسلة الزمنية بيانياً
E يمكن عرض السلاسل الزمنية بالرسم بعدة طرق سوف نكتفى بدراسة طريقتين هما :
1- طريقة الخط البيانى ( المنكسر ) .
2- طريقة الأعمدة .
Eحيث تمثل قيم الزمن أو المتغير المستقل ( س ) على المحور الأفقى وقيم الظاهرة أو المتغير التابع ( ص ) على المحور الرأسى ، ثم نعين لكل فترة زمنية نقطة تمثل قيمة الظاهرة عند هذه النقطة ثم نصل النقط ببعضها بخط منكسر [ طريقة الخط البيانى أو المنكسر ] .
أو نسقط من كل نقطة عمود على المحور الأفقى [ طريقة الأعمدة ] كما فى المثال التالى :
مثال: الآتى أرباح إحدى الشركات خلال 6 سنوات ( الأرقام بالمليون جنيه )
السنة
2000
2001
2002
2003
2004
2005
الأرباح
50
70
30
80
90
100
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image119.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image121.gifوالمطلوب تمثيل هذه الأرباح 1- فى شكل خط منكسر 2- فى شكل أعمدة .
الحل :
- تعريف الارتباط : هو المقياس الذى يصف شدة العلاقة بين متغيرين ( ظاهرتين ) ويرمز له بالرمز " ر" .
- والارتباط نوعان :
1- ارتباط طردى : أى أن العلاقة بين الظاهرتين موجبة .
بمعنى أن أى زيادة فى إحدى الظاهرتين يصحبها زيادة فى الظاهرة الأخرى والعكس أى أن أى نقص فى إحدى الظاهرتين يصاحبه نقص فى الظاهرة الأخرى .
· مثال ذلك : ظاهرة المبيعات النقدية والإيرادات
فكلما زادت المبيعات النقدية زادت الإيرادات
وكلما نقصت المبيعات النقدية نقصت الإيرادات
وأيضاً ظاهرة مدة الخدمة لموظف الحكومة ومرتبه
فكلما زادت مدة خدمة موظف الحكومة زاد مرتبه والعكس
2- ارتباط عكسى : أى أن العلاقة بين الظاهرتين سالبة
بمعنى أن أى زيادة فى إحدى الظاهرتين يصاحبها نقص فى الظاهرة الأخرى ، والعكس أى أن أى نقص فى إحدى الظاهرتين يقابله زيادة فى الظاهرة الأخرى .
· مثال ذلك : ظاهرة سعر السلعة والطلب عليها
كلما زاد سعر السلعة قل الطلب عليها
وكلما قل سعر السلعة زاد الطلب عليها
· قيمة معامل الارتباط : وتتراوح قيمة معامل الارتباط بين +1 ، -1 عدا الصفر ، وكلما اقتربت قيمة معامل الارتباط من +1 أو -1 دل هذا على ارتباط قوى ، وكلما اقتربت قيمة معامل الارتباط من الصفر دل هذا على ارتباط ضعيف ، وإذا كانت قيمة معامل الارتباط = +1 أو -1 دل هذا على ارتباط تام ، أما إذا كانت قيمة معامل الارتباط = صفر دل هذا على انعدام العلاقة بين الظاهرتين أى لا يوجد ارتباط .
· إشارة معامل الارتباط : إذا كانت إشارة معامل الارتباط موجبه دل هذا على أن العلاقة بين المتغيرين علاقة طردية .
بمعنى ï أن الزيادة فى المتغير الأول يصاحبها زيادة فى المتغير الثانى ،
أما إذا كانت إشارة معامل الارتباط سالبة دل هذا على علاقة عكسية .
بمعنى ï أن الزيادة فى المتغير الأول يصاحبها نقص فى المتغير الثانى ،
E وقد سبق أن وضحنا ذلك عند الكلام عن نوعى الارتباط .
· طرق قياس معامل الارتباط : يمكن قياس معامل الارتباط بعدة طرق أهمها :
1- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان .
2- معامل ارتباط بيرسون .
1- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان
يستخدم للبيانات الرقمية والبيانات الوصفية
- وتعتمد هذه الطريقة على استخدام رتب القيم بدلاً من القيم الأصلية للمتغيرين أو الظاهرتين ولهذا تصلح هذه الطريقة للقيم العددية والقيم الوصفية .
- والقانون المستخدم فى هذه الطريقة : É
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif
** حيث ن عدد القيم ، الرقم ( 6 ) ثابت لا يتغير وكذلك الرقم ( 1 ) .
مثال ( 1 ) : فيما يلى درجات 8 طلاب فى مادتى الرياضة ( س ) والإحصاء ( ص )
س
20
45
30
35
15
40
49
22
ص
30
40
50
25
35
27
46
17
والمطلوب 1- إيجاد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان .
2- نوع الارتباط .
الحل :
س
ص
رتب س
رتب ص
ف
ف2
20
30
7
5
2
4
45
40
2
3
-1
1
30
50
5
1
4
16
35
25
4
7
-3
9
15
35
8
4
4
16
40
27
3
6
-3
9
49
46
1
2
-1
1
22
17
6
8
-2
4
صفر
60
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif
= 1- 0.71
= 0.29 وهو ارتباط طردى .
مثال ( 2) :
فيما يلى تقديرات عشر طالبات بكلية العلوم فى مادتى الرياضيات (س) والكيمياء (ص)
درجات الرياضيات
ضعيف
ممتاز
ضعيف
ضعيف جداً
مقبول
جيدجداً
جيد
جيد
مقبول
مقبول
درجات الكيمياء
جيد
جيدجداً
ضعيف جداً
مقبول
جيدجداً
جيد
مقبول
ممتاز
مقبول
ضعيف
والمطلوب : إيجاد معامل ارتباط الرتب مع بيان نزعه درجته .
الحل :
س
ص
رتب س
رتب ص
ف
ف2
ضعيف
جيد
8.5
4.5
4
16
ممتاز
جيد جداً
1
2.5
-1.5
2.25
ضعيف
ضعيف جداً
8.5
10
-1.5
2.25
ضعيف جداً
مقبول
10
7
3
9
مقبول
جيد جداً
6
2.5
3.5
12.25
جيد جداً
جيد
2
4.5
-2.5
6.25
جيد
مقبول
3.5
7
-3.5
12.25
جيد
ممتاز
3.5
1
2.5
6.25
مقبول
مقبول
6
7
-1
1
مقبول
ضعيف
6
9
-3
9
صفر
76.5
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif
= 1- file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif = 1- 0.46 = 0.54 وهو ارتباط طردى متوسط .
2- معامل ارتباط بيرسون
· ويعتبر معامل ارتباط بيرسون أكثر دقة من معامل ارتباط سبيرمان وذلك لأنه يستخدم قيم الظاهرتين وليس رتب هذه القيم كما هو الحال فى معامل ارتباط سبيرمان .
· file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gifويسمى معامل ارتباط بيرسون بمعامل ارتباط العزوم ولا يصلح معامل بيرسون للقيم الوصفية .
· file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gifوالقانون المستخدم لإيجاده هو : ر= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif
· خطوات الحل :
1- نكون جدولاً من ( 5 ) خانات هى : [ س ، ص ، س ص ، سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif ، صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif ] .
o خانة س هى مفردات قيم الظاهرة س .
o ص هى مفردات قيم الظاهرة ص .
o خانة س ص هى حاصل ضرب قيم س × قيم ص .
o خانة سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif هى حاصل ضرب قيم س فى نفسها .
o خانة صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif هى حاصل ضرب قيم ص فى نفسها .
2- ثم نجمع أعمدة الجدول الخمسة ويسمى مجموع الخانة الأولى مج س ومجموع الخانة الثانية مج ص ومجموع الخانة الثالثة مج س ص ومجموع الخانة الرابعة مج سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gifومجموع الخانةالخامسة مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif
3- نعوض فى القانون السابق حيث ن هى عدد أزواج القيم .
مثال ( 1) من الجدول الآتى :
س
5
4
5
6
3
2
10
ص
5
6
2
4
3
1
7
إحسب معامل ارتباط بيرسون للظاهرتين س ، ص
الحل :
س
ص
س ص
س2
ص2
5
5
25
25
25
4
6
24
16
36
5
2
10
25
4
6
4
24
36
16
3
3
9
9
9
2
1
2
4
1
10
7
70
100
49
35
28
164
215
140
* من الجدول السابق نجد أن : مج س = 35 ، مج ص = 28 مج س ص = 164 مج سfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = 215 ، مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = 140
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ر= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image030.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image032.gif
ثانياً : الانحدار
§ تعريف الانحدار :
o الانحدار هو : التنبؤ بقيمة أحد المتغيرين ( الظاهرتين ) بمعلومية المتغير الآخر .
§ معادلتا الانحدار :
1- معادلة انحدار ص / س وتقرأ ïï ص على س
2- معادلة انحدار س / ص وتقرأ ïï س على ص
1- معادلة انحدار ص/س
وهذه المعادلة تعطى أفضل قيمة لـ ص إذا علمت قيمة س
ص = ا س + ب
Ãحيث ص هى المتغير التابع المراد تقديره .
، س هى المتغير المستقل .
،ا هو معامل انحدار ص/س .
، ب ثابت فى المعادلة .
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif
ص = ا س + ب
مثال (1) فيما يلى جدول يبين أسعار سلعة بالجنيهات ( س ) والكميات المباعة منها بالطن ( ص )
س
9
8
7
9
9
9
6
7
8
8
ص
6
9
5
8
8
9
5
7
7
6
والمطلوب : حساب معادلة انحدار ص / س ومنها أوجد أفضل قيمة لـ ص عندما س = 20
الحل :
س
ص
س ص
س2
9
6
54
81
8
9
72
64
7
5
35
49
9
8
72
81
9
8
72
81
9
9
81
81
6
5
30
36
7
7
49
49
8
7
56
64
8
6
48
64
80
70
569
650
من الجدول السابق : مج س = 80 ، مج ص = 70 ، مج س ص = 569
مج س2= 650
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image037.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image039.gif
70 – 0.9 × 80
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image041.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image043.gif = 0.9
10
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image046.gif= = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image048.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image050.gif = -0.2
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ص = ا س + ب
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif ص = 0.9س + (-0.2 )
= 0.9س -0.2
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif معادلة انحدار ص/س هى
· ولتقدير قيمة ص عندما س = 20 نعوض عن س فى المعادلة السابقة بـ20
ص = 0.9 × 20 – 0.2
= 18 – 0.2
= 17.8
2- معادلة انحدار س/ص
وهذه المعادلة تعطى أفضل قيمة لـ س إذا علمت قيمة ص
س = جـ ص + د
à حيث س هى المتغير التابع المراد تقديره .
، ص هى المتغير المستقل .
، جـ معامل انحدار س / ص .
، د ثابت فى المعادلة .
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image055.gifنوجد قيمة جـ بالقانون :
جـ = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image057.gif file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image059.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image059.gif
نوجد قيمة د بالقانون :file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image061.gif
د =
نعوض فى المعادلة :
س = جـ ص + د لإيجاد قيمة س .
مثال (2) من بيانات المثال ( 1 ) أوجد باستخدام طريقة المربعات الصغرى :
1- معادلة انحدار س / ص .
2- تقدير أفضل قيمة لـ س عندما ص = 15 .
الحل :
س
ص
س ص
صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif
9
6
54
36
8
9
72
81
7
5
35
25
9
8
72
64
9
8
72
64
9
9
81
81
6
5
30
25
7
7
49
49
8
7
56
49
8
6
48
36
80
70
569
510
مج س = 80 ، مج ص = 70 ، مج س ص = 569 ، مج صfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif= 510
حـ = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image065.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image067.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image069.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image070.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image071.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image073.gif = 0.45
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image074.gif د = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image076.gif = = = = 4.85
B معادلة انحدار س / ص هى : د
س = 0.45 ص + 4.85
*ولتقدير أفضل قيمة لـ س عندما ص = 15 نعوض فى المعادلة السابقة عن ص = 15
س = 0.45 × 15 + 4.85 = 6.75 + 4.85 = 11.60
العلاقة بين الارتباط والانحدار
× تتلخص العلاقة بين معامل الارتباط ومعاملى الانحدار فى :
o file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image077.gifمعامل الارتباط = معامل انحدار ص/س × معامل انحدار س/ص
o file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image078.gifأى أن ر = ا × جـ ج
o أو رfile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif = ا × ج
E بشرط أن تكون الإشارة واحدة فى كل من ا ، ج ، ر بمعنى أن الجميع موجب أو سالب .
وتستخدم هذه العلاقة فى :
1- إيجاد معامل الارتباط ( ر ) بمعلومية معاملى انحدار ص / س ، س/ ص .
2- إيجاد معامل انحدار ص/س بمعلومية معامل الارتباط ومعامل انحدار س/ص .
3- إيجاد معامل انحدار س/ص بمعلومية معامل الارتباط ومعامل انحدار ص/س .
مثال (1) إذا علمت أن معادلة انحدار ص/س هى ص = 0.6س + 4.2
ومعادلة انحدار س/ص هى : س = 0.25 ص + 2.3
إحسب معامل الارتباط بين الظاهرتين س ، ص ؟
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image080.gifالحل : ا = 0.6 ، ج = 0.25 ، ر = ؟؟؟
ر = ا × ج
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image081.gif = 0.6× 0.25
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image082.gif = 0.15
= 0.39
مثال (2) إذا كان معامل انحدار ص/س هو 0.6
ومعامل الارتباط بين الظاهرتين س ، ص هو 0.39
أوجد معامل انحدار س/ص
الحل : ر = 0.39 ، ا = 0.6 ، ج = ؟؟؟
A ر2 = ا × ج
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image083.gifB ج = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image085.gif
=
= 0.25
مثال (3) إذا كان معامل انحدار س/ص هو -0.3
ومعامل الارتباط بين س ، ص هو -0.9
إحسب معامل انحدار ص/س
الحل : ج = -0.3 ، ر = -0.9 ، ا = ؟؟؟
A ر2 = ا × ج
B ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image087.gif
= file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image089.gif = -2.7
السلاسل الزمنية
تعريف السلسة الزمنية : هى قراءات ظاهرة فى فترات زمنية متساوية ومتتالية ، وهذه الفترات الزمنية قد تكون يوماً أو أسبوعاً أو شهراً أو سنة .....إلخ .
E ومن أمثلة السلاسل الزمنية :
- درجات الحرارة لعدة أيام متتالية .
- المبيعات الشهرية .
- كميات الإنتاج من إحدى السلع خلال عدة سنوات متتالية .
- أعداد السكان لإحدى الدول فى عدة سنوات متتالية .
à وعند دراسة السلاسل الزمنية فإن هناك متغيرين أحدهما هو المتغير الأصلى المنتظم وهو الزمن والثانى يعتمد فى تغيره على تغير الزمن وهو الظاهرة .
à وترجع أسباب تغير قيمة الظاهرة إلى :
1- تغيرات الاتجاه العام .
2- التغيرات الموسمية .
3- التغيرات الدورية .
4- التغيرات العرضية أو الفجائية .
1- تغيرات الاتجاه العام : هى تغيرات طويلة الأجل فى اتجاه واحد
إما صعوداً : حيث تميل قيمة الظاهرة إلى التزايد كلما زاد الزمن مثل عدد السكان – الدخل القومى ...إلخ .
أو هبوطاً : حيث تميل قيمة الظاهرة إلى التناقص كلما زاد الزمن مثل نقص عدد الأميين – نقص عدد الوفيات ...إلخ .
وليس معنى الاتجاه العام الصعودى أن كل قراءة تزيد عما قبلها بل قد يحدث أن تنخفض فى
بعض أجزائها ثم تزيد فى البعض الآخر بحيث يكون التغير الغالب على الظاهرة هو الزيادة ،
وبالمثل فى حالة الاتجاه العام الهبوطى.
2- التغيرات الموسمية : هى تغيرات تحدث فى تواريخ معلومة بأسلوب تقليدى فى كل عام مثل زيادة المبيعات فى المواسم والأعياد من سلع معينة وزيادة عمليات سحب النقود من البنوك فى أول كل شهر .
3- التغيرات الدورية : هى تغيرات منتظمة ولكن انتظامها ليس تاماً كما هو الحال فى التغيرات الموسمية وليست تغيرات قصيرة الأجل وإنما تستغرق زمناً طويلاً حوالى عشر سنوات حتى تستعيد سيرتها مثل فترات الرواج والكساد .
4- التغيرات العرضية أو الفجائية : وهى تغيرات تحدث فجأة ولا يمكن التنبؤ بها وقد تتكرر أو لا تتكرر وتغيرها تارة يكون بالزيادة وتارة يكون بالنقص وهى لا تستمر طويلاً وتترتب على عوامل عارضة مثل الحروب والكوارث والاضطرابات والحرائق .
C وسوف نكتفى بدراسة الاتجاه العام بطريقة المربعات الصغرى :
ص = ا س + ب
** حيث أن السلسلة الزمنية حالة من حالات الانحدار الثابت فيها هو الزمن ، وسوف نعالج السلسلة الزمنية إذا كان يمثلها عدد فردى من السنوات ثم إذا كان يمثلها عدد زوجى من السنوات .
أولاً : إذا كانت السلسلة الزمنية يمثلها عدد فردى من السنوات :
خطوات الحل :
1- نكون جدول من ( 5 ) خانات [ السنة ، ص ، س ، س ص ، س2 ] .
حيث : ×خانة السنة : هى الفترات الزمنية للظاهرة ( أيام أو شهور أو سنوات ) .
×خانة ص : هى قيم الظاهرة .
×خانة س : هى انحرافات السنوات عن السنة الوسطى وهى السنة التى تتوسط السنوات .
ترتيب السنة الوسطى = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image091.gif حيث ( ن ) هى عدد السنوات فيكون انحرافها
عن نفسها = صفر ، وانحرافها عما فوقها : -1 ، -2 ، -3 ..... وهكذا
وانحرافها عما تحتها : 1 ، 2 ، 3 ............وهكذا
×خانة س ص : هى حاصل ضرب كل قيمة لـ س × قيمة ص المناظرة لها مع الأخذ فى
الاعتبار إشارة السالب والموجب .
×خانة س2 : هى حاصل ضرب كل قيمة لـ س × نفسها .
2- نجمع الخانات الثانية والثالثة والرابعة والخامسة .
حيث يسمى مجموع الخانة الثانية مج ص .
، يسمى مجموع الخانة الثالثة مج س وهو دائما يساوى صفر .
، يسمى مجموع الخانة الرابعة مج س ص .
، ويسمى مجموع الخانة الخامسة مج س2 .
3- نوجد ( ا ) كما يلى :
ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image093.gif
نوجد ( ب ) كما يلى : ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image095.gif
4- نعوض فى معادلة خط الاتجاه العام وهى :
ص = ا س + ب
مثال (1) الجدول الآتى يبين الصادرات " بالمليون جنيه " لقطاع البترول فى إحدى الدول خلال الفترة من سنة 1991 حتى سنة 1997 .
السنة
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
الصادرات
4
9
10
12
16
22
27
والمطلوب :
1- حساب معادلة الاتجاه العام لصادرات هذه الدولة بطريقة المربعات الصغرى .
2- التنبؤ بالصادرات عام 2012 .
3- القيم التقديرية للصادرات فى الفترات الزمنية المبينة فى الجدول .
الحل :
السنة
ص
س
س ص
س2
1991
4
-3
-12
9
1992
9
-2
-18
4
1993
10
-1
-10
1
1994
12
صفر
صفر
صفر
1995
16
1
16
1
1996
22
2
44
4
1997
27
3
81
9
المجموع
98
صفر
101
28
Ãمن الجدول السابق نجد أن : مج ص = 98 ، مج س ص = 101 ، مج س2 = 28 ، ن = 7
( 1 ) B ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image097.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image099.gif = 3.6
، ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image101.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image103.gif = 14
، A ص = ا س + ب
B ص = 3.6 س + 14
( 2 ) عند سنة 2012 : س = 2012 – 1994
= 18
B ص ( قيمة الصادرات سنة 2012 ) = 3.6 × 18 + 14
= 64.8 + 14
= 78.8
( 3 ) لإيجاد القيمة التقديرية للصادرات فى جميع السنوات التى بالجدول نعوض فى المعادلة عن س
بالقيم : -3 ، -2 ، -1 ، صفر ، 1 ، 2 ، 3 هكذا É
ص لسنة 1991 = ( 2.3 × -3 ) + 14 = -6.9 + 14 + 7.1 .
ص لسنة 1992 = ( 2.3 × -2 ) + 14 = -4.6 + 14 = 9.4
ص لسنة 1993 = ( -2.3 × -1 ) + 14 = -2.3 + 14 = 11.7
ص لسنة 1994 = ( 2.3 × 0 ) + 14 = 0 + 14 = 14
ص لسنة 1995 = ( 2.3 × 1 ) + 14 = 2.3 + 14 = 16.3
ص لسنة 1996 = ( 2.3 × 2 ) + 14 = 4.6 + 14 = 18.6
ص لسنة 1997 = ( 2.3 × 3 ) + 14 = 6.9 + 14 = 20.9
Ãويمكن الحصول على النتائج السابقة بإيجاد القيمة التقديرية للصادرات 1991 كما سبق ثم نضيف إليها معامل ا وهو 2.3 ينتج القيمة التقديرية لصادرات سنة 1992 ....وهكذا
السنة
الصادرات المقدرة
1991
7.1
1992
7.1 + 2.3 = 9.4
1993
9.4 + 2.3 = 11.7
1994
11.7 + 2.3 = 14
1995
14 + 2.3 = 16.3
1996
16.3 + 2.3 = 18.6
1997
18.6 + 2.3 = 20.9
مثال (2) عند إعداد جدول معادلة الاتجاه العام لسلسلة زمنية لخمس سنوات أمكن التوصل إلى البيانات الآتية :-
مج ص= 125 ، مج س ص = 90 ، مج س2 = 10
والمطلوب : حساب معادلة الاتجاه العام .
الحل :
أ. file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image097.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image106.gif = 9
ب. = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image101.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image109.gif= 25
B ص = ا س + ب
= 9 س + 25
ثانياً : إذا كانت السلسلة الزمنية يمثلها عدد زوجى من السنوات :
مثال (3) الآتى مبيعات إحدى الشركات خلال 6 سنوات بالمليون جنيه
السنة
1990
1991
1992
1993
1994
1995
المبيعات
5
7
10
12
14
18
والمطلوب :
1- إحسب معادلة الاتجاه العام ,
2- إيجاد القيمة التقديرية للمبيعات للفترات الزمنية المبينة فى الجدول .
3- التنبؤ بقيمة المبيعات فى سنة 2000 .
مثال (4)
عند إعداد جدول معادلة الاتجاه العام لسلسلة زمنية تتكون من ( 6 ) سنوات تبدأ من سنة 2001 أمكن التوصل للبيانات الآتية :
مج ص = 180 ، مج س ص = 330 ، مج س2 =70
المطلوب :
1- حساب معادلة الاتجاه العام .
2- القيمة التقديرية لسنة 2010 .
الحل :
1- ا = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image111.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image113.gif = 4.7
ب = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image115.gif = file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image117.gif = 30
ص = ا س + ب
= 4.7 س + 30
2- س لسنة 2010 = 2010 – 2003.5 = 6.5 × 2 = 13
B القيمة التقديرية لسنة 2010 = 4.7 × 13 + 30 = 91.1
تمثيل السلسلة الزمنية بيانياً
E يمكن عرض السلاسل الزمنية بالرسم بعدة طرق سوف نكتفى بدراسة طريقتين هما :
1- طريقة الخط البيانى ( المنكسر ) .
2- طريقة الأعمدة .
Eحيث تمثل قيم الزمن أو المتغير المستقل ( س ) على المحور الأفقى وقيم الظاهرة أو المتغير التابع ( ص ) على المحور الرأسى ، ثم نعين لكل فترة زمنية نقطة تمثل قيمة الظاهرة عند هذه النقطة ثم نصل النقط ببعضها بخط منكسر [ طريقة الخط البيانى أو المنكسر ] .
أو نسقط من كل نقطة عمود على المحور الأفقى [ طريقة الأعمدة ] كما فى المثال التالى :
مثال: الآتى أرباح إحدى الشركات خلال 6 سنوات ( الأرقام بالمليون جنيه )
السنة
2000
2001
2002
2003
2004
2005
الأرباح
50
70
30
80
90
100
file:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image119.giffile:///C:/DOCUME%7E1/AHMEDM%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image121.gifوالمطلوب تمثيل هذه الأرباح 1- فى شكل خط منكسر 2- فى شكل أعمدة .
الحل :